Arnold变换是V.J．Arnold在遍历理论的研究中提出的一种变换，原意为catmapping，俗称猫脸变换。Arnold变换直观、简单、具有周期性，使用非常方便。Arnold变换的原理是先作x轴方向的错切变换，再作y轴方向的错切变换，最后的模运算相当于切割回填操作，其变换示意图如图4所示。
Arnold变换的置乱效果图如图5所示。
当对图像进行Arnold变换时，就是把图像的各个像素点位置按照下列公式进行移动，
从而得到一个相对原图像比较混乱的图像。对图像每进行一次Arnold变换，就相当于对该图像进行了一次置乱，一般来说这一过程需要反复进行多次才能达到令人满意的效果。利用Arnold变换对图像进行置乱后，使原本有意义的图像变成了像白噪声一样无意义的图像，从而实现了信息的初步隐藏。同时置乱次数可以作为水印系统的密钥，从而进一步增强系统的安全性和保密性。
Arnold变换也是具有周期性的。F．J．Dyson和H.Falk在分析离散Arnold变换的周期性时，给出了这样的结论：对于任意的N>2，Arnold变换的周期L≤N2/2。这是迄今为止最好的结果。计算Arnold周期的方法，对于给定的自然数N>2，下式的Arnold变换周期M是使得它成立的最小自然数n。
例如，尺寸为32×32的二值水印图像，根据文相关结论，大小为32×32的二值图像置乱迭代6次置乱度最大。所以N=32，对水印置乱的次数k=6（k可作为密钥），可以算出N=32时，周期M=24。因此，如果开始对水印置乱了6次，那么在提取水印后还要再对水印置乱24 -6—18次才能得到原来的水印图像，如图6所示。
图像的大小与Arnold变换的周期的关系，如表1所示。
Arnold反变换
如前所述，Arnold变换是具有周期性的，反复使用Arnold变换，可以在某一时刻恢复原始图像。但是Arnold变换的周期性与图像的大小有关，如果我们利用它的周期性来达到恢复原图的目的，势必要花费很长时间。然而在实际应用中，应该尽可能地减少计算时间和计算量，我们希望Arnold变换的周期越短越好，所以在设计数字水印图像的大小时，我们往往会选择Arnold变换周期比较小的图像，而这也在一定程度上限制了图像的选择，而且选择图像前需要事先计算出它的周期，从而增加了工作量。这个问题可以通过Arnold反变换的方法解决。
Arnofd变换式为：
假设：
其中，t1，t2为整数，则：
则Arnold反变换为：
用数学归纳法可以证明，当作n次变换时，即：
时，Arnold反变换为：
其中，(x，y)是原图像的像素点，(x’，y’)是变换后图像的像素点。利用Arnold反变换式可以将水印图像进行恢复。
由以上可以得出，对一幅置乱m次的图像进行恢复时，只要恢复后的图像的置乱次数k满足0≤k≤m，图像的恢复都可以通过对置乱图像作m-k次Arnold反变换得到，显然当k=0时，反变换后的图像就是原图像。
Arnold反变换的方法使Arnold变换置乱图像的恢复不再需要计算出图像变换的周期，并且可以恢复到图像的任意次置乱效果，恢复的效率大大提高了。
